НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ ПРИ ПРОВЕРКЕ РАВНОМЕРНОСТИ

КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА

При проверке гипотезы Н₀ о принадлежности выборки равномерному закону в критерии Колмогорова [18] целесообразно использовать статистику с поправкой Большева [58,59] в форме [57]

где D„=max(Z);,Zr), D⁺n = max j- - U₍}, D~ = max it/,} , U, -

' > 1<1<п I yi I 1<(<л I yi I

элементы вариационного ряда jc₍₁₎ < x₍₂₎ <... < х_(п), построенного по исходной выборке X,, X₂,..., X_n.

При проверке равномерности на интервале [0,1] проверяемая гипотеза Н₀ является простой. В этом случае предельным распределением статистики (3.1) является распределение Колмогорова с функцией распределения

Все непараметрические критерии согласия являются правосторонними. Проверяемую гипотезу Н₀ отклоняют при больших значениях статистики.

Зависимостью распределения статистики (3.1) от объема выборки можно практически пренебречь при п > 25 и вычислять достигнутый уровень значимости (p-value) P(S_K > S*_kH₀) = -K(S*_k) в соответствии с

распределением Колмогорова, где S*_K - значение статистики критерия, вычисленное по анализируемой выборке. Менее предпочтительно принимать решение, сравнивая значение S*_K с критическим при заданном а. Тогда можно воспользоваться процентными точками распределения Колмогорова, представленными в таблице 3.1

Среди непараметрических критериев согласия критерий Колмогорова относится к наименее мощным критериям.

Оценки мощности критерия Колмогорова при проверке равномерности по отношению к конкурирующей гипотезе Я, приведены в таблице

3.2, оценки мощности по отношению к гипотезам Я₂ и Я₃ - в таблицах 3.3 и 3.4 соответственно.

Таблица 3.2

Мощность критерия Колмогорова относительно гипотезы Я,

По отношению к конкурирующей гипотезе Я, при малых п и а проявляется смещённость критерия Колмогорова (мощность 1 - /3 оказывается меньше заданной вероятности ошибки 1-го рода ос). Чтобы подчеркнуть это, в таблице 3.2 соответствующие оценки мощности выделены серым цветом.

Заметим, что при малых п и а смещённость критерия Колмогорова при проверке равномерности отмечается и относительно более далеких конкурирующих гипотез, соответствующих симметричным и унимодальным законам.

Таблица 3.3

Мощность критерия Колмогорова относительно гипотезы Н₂

Таблица 3.4

Мощность критерия Колмогорова относительно гипотезы Н₃

К сожалению, как будет показано ниже, таким же недостатком при проверке равномерности обладают непараметрические критерии согласия Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга и, в меньшей степени, критерии Жанга со статистиками Z_А, Z_c, Z_K .

С вопросами применения критерия Колмогорова при проверке различных сложных гипотез можно ознакомиться в [73, 77, 78].