Введение

Актуальность темы исследований. Наряду с линейными моделями систем, в области системного анализа интенсивно развиваются методы моделирования нелинейных интегральных динамических систем. Внутренняя структура сложных систем, а также уравнения, описывающие их функционирование, часто бывают неизвестными, что обуславливает широкое применение модели черного ящика. Однако на практике часто приходится иметь дело с динамическими системами, для которых методы классического статистического регрессионного анализа неприменимы. Достаточно общим подходом к математическому моделированию нелинейных динамических систем типа вход-выход (выход непрерывно зависит от входа) является представление отклика системы на внешнее воздействие в виде интегро-степенного ряда Вольтерра. Особенностью метода системного анализа на основе рядов Вольтерра является то, что они приводят к многомерным интегральным уравнениям (ИУ) первого рода относительно переходных характеристик весьма большой размерности. Это является одним из примеров актуальности задачи численного решения ИУ большой размерности. Универсальных методов решения данной проблемы пока не разработано. В книге рассматривается подход на основе методов случайных кубатур и квази Монте Карло.

В книге также проведено детальное статистическое исследование методов решения задачи квадратического назначения, к которой сводятся известные проблемы оптимизации размещения предприятий, аппаратов, элементов электронных цепей по критерию минимума взвешенной длины соединений на основе ортогональной метрики при помощи комбинаторных аналогов известных континуальных моделей и методов. Фундаментальные результаты в этой области получены в работах Бахвалова Н.С., Михлина С.Г.,. Курейчика В.М., Палубецкиса Г. С., Кулакова А.А., Ермакова С.М., Иванова В.М., Кульчицкого О.Ю., Кореневского М.Л., Спинна А.С., Иванова В.М., Берковского И.А., Антонова А.А., Silva, A., Coelho, L.C., Darvish, М. Важные результаты содержатся в работах таких ученых, как Васильев О.В. и др.

Объектом исследования являются методы и алгоритмы анализа и оптимизации динамических нелинейных систем на основе интегро-степенных рядов, решения ИУ большой размерности и задачи квадратического назначения.

Предмет исследования - теория вычислительных методов системного анализа на основе динамической модели черного ящика и решения многомерных ИУ, а также задачи квадратического назначения.

Цель работы - разработка новых, исследование и совершенствование известных методов и алгоритмов системного анализа на основе динамической модели черного ящика, приближенного решения многомерных ИУ и задачи квадратического назначения.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.

В области математического моделирования:

• предложен комбинированный подход к анализу и оптимизации нелинейных динамических систем на основе интегростепенных рядов, регуляризации и эффективных методов решения ИУ большой размерности.
• оптимизация размещения предприятий, аппаратов, равногабаритных элементов электронных цепей с критерием минимума взвешенной длины соединений на основе ортогональной метрики при помощи комбинаторных аналогов известных континуальных моделей и методов.

В области численных методов:

• разработан и исследован комбинированный метода анализа и оптимизации нелинейных динамических систем на основе интегростепенных рядов, регуляризации, полустатистического метода решения ИУ, методов Монте Карло и квази Монте Карло.
• проведено сравнительное исследование и модификация методов Монте Карло и квази-Монте Карло для решения ИУ на основе применения как случайных, так и низкодисперсных псевдослучайных узлов и последовательностей Хальтона;
• разработаны и исследованы комбинаторные аналоги метода Гаусса-Зейделя, генетического алгоритма, метода роя частиц и соответствующие гибридные методы для решения задачи квадратичного назначения.

Разработан новый комплекс программ, реализующих методы Монте Карло и квази Монте Карло для решения многомерных как линейных, так и нелинейных ИУ и соответствующей полной проблемы собственных значений, а также для решения задачи квадратического назначения на основе комбинаторных аналогов известных континуальных методов с относительно высоким быстродействием и минимальными требованиями к объему памяти.

Научная новизна полученных авторами результатов заключается в следующем:

В области математического моделирования:

• предложен новый комбинированный подход к анализу и оптимизации нелинейных динамических систем на основе интегросте-пенных рядов, регуляризации и эффективных методов решения ИУ большой размерности.
• разработаны и исследованы новые модификации оптимизационных моделей и комбинаторных аналогов метода Гаусса-Зейделя, генетического алгоритма, метода роя частиц и соответствующих гибридных методов для оптимизации размещения предприятий, аппаратов, равногабаритных элементов электронных цепей.

В области численных методов:

• установлена возможность анализа технических систем при помощи комбинированного метода анализа и оптимизации нелинейных динамических систем, отличающегося совместным применением интегростепенных рядов, полустатистического метода, регуляризации и алгоритмов Монте Карло и квази Монте Карло.
• впервые исследован полустатистический метод для решения сингулярных ИУ типа Коши;
• - реализован подход к решению многомерной нелинейной задачи ИУ Гаммерштейна, отличающийся применением полустатистического метода и алгоритма Ньютона. Показано существование нескольких решений.
• рассмотрено решение многомерных ИУ 1 рода, отличающееся применением полустатистического метода и регуляризации.
• на основе полустатистического метода решена проблема собственных значений многомерного ИУ. Установлено, что одним из лучших среди множества является метод Леверье-Фаддеева.
• впервые комплексно исследован подход на основе параметрической регуляризации ядра, интерполяционно-проекционный метод, усредненные адаптивные плотности.
• впервые при помощи полустатистического метода и алгоритма квази Монте-Карло на основе редукции к многомерным ИУ решены пространственные краевые задачи Дирихле для уравнения Лапласа для шаровой и тороидальной областей.
• установлено, что предложенный комбинаторный аналог метода покоординатного спуска и общего подхода на основе парных перестановок характеризуется наилучшими вычислительными качествами среди исследованных в работе методов. Генетический алгоритм сходится заведомо не хуже метода Монте-Карло. Метод роя частиц по своим вычислительным качествам занимает промежуточное положение среди рассмотренных методов.

В области разработки комплексов программ:

• разработан новый комплекс программ, реализующих методы Монте Карло и квази Монте Карло для решения многомерных как линейных, так и нелинейных ИУ и соответствующей полной проблемы собственных значений, а также для решения задачи квадратического назначения на основе комбинаторных аналогов известных континуальных методов с относительно высоким быстродействием и минимальными требованиями к объему памяти.

Методы исследования относятся к области системного анализа, численных методов, методов оптимизации, теории интегральных уравнений. В исследовании применяются также различные вычислительные методы, такие как метод конечных разностей, методы теории приближений (теории аппроксимации), методы интерполяции, методы сглаживания и др.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии и сравнительном исследовании методов и алгоритмов системного анализа на основе динамической модели черного ящика, приближенного решения многомерных ИУ и задачи квадратического назначения.

Практическая значимость. Рассматриваемые подходы позволяют повысить точность анализа и оптимизации сложных нелинейных систем на основе динамической модели черного ящика, расширить круг задач теории интегральных уравнений, решаемых методами Монте-Карло и квази Монте-Карло, поскольку отсутствуют ограничения на величину нормы интегрального оператора.

Предложенные новые и модифицированные комбинаторные аналоги метода Гаусса-Зейделя, генетического алгоритма, метода роя частиц и соответствующих гибридных методов позволяют оптимизировать размещения предприятий, аппаратов и равногабаритных элементов электронных цепей большой размерности.

Предложенный комбинированный метод анализа и оптимизации нелинейных динамических систем на основе интегростепенных рядов, регуляризации и методов Монте Карло и квази Монте-Карло применим для анализа широкого круга технических систем.

Разработанный комплекс программ может быть использован в различных других прикладных областях. Полученные в результате исследования математические модели прошли апробацию на ряде предприятий.

Основные результаты:

В области математического моделирования:

• комбинированный подход к анализу и оптимизации нелинейных динамических систем на основе интегростепенных рядов, регуляризации и эффективных методов решения ИУ большой размерности.
• результаты сравнительного исследования и новые модификации оптимизационных моделей и комбинаторных аналогов метода Гаусса-Зейделя, генетического алгоритма, метода роя частиц и соответствующих гибридных методов для оптимизации размещения предприятий, аппаратов и равногабаритных элементов электронных цепей.

В области численных методов:

• комбинированный метода анализа и оптимизации нелинейных динамических систем на основе интегростепенных рядов, регуляризации, полустатистического метода решения ИУ, методов Монте Карло и квази Монте Карло.
• результаты исследования, применения и модификации методов случайных кубатур и квази Монте Карло для решения многомерных как линейных, так и нелинейных, регулярных и сингулярных ИУ Вольтерра и Фредгольма, в том числе некорректных и проблемы собственных значений;

В области разработки комплексов программ:

• новый комплекс программ, реализующих методы Монте Карло и квази Монте Карло для решения широкого класса многомерных ИУ и соответствующей полной проблемы собственных значений, а также для решения задачи квадратического назначения на основе комбинаторных аналогов известных континуальных методов с относительно высоким быстродействием и минимальными требованиями к объему памяти.

Достоверность полученных результатов научных положений и выводов, сделанных в исследовательской работе, следует из адекватности используемых математических моделей и корректности численных методов. Результаты компьютерного моделирования согласуются с известными данными, полученными другими методами или из экспериментов.

Соответствие паспорту специальности. Исследовательская работа соответствует технической отрасли науки, паспорту научной специальности 2.3.1 - Системный анализ, управление и обработка информации (техника и технологии):

• формуле паспорта специальности', теоретические и прикладные исследования системных связей и закономерностей функционирования и развития объектов и процессов с учетом отраслевых особенностей, ориентированные на повышение эффективности управления ими с использованием современных методов обработки информации, так как в исследовании рассматриваются вопросы анализа и оптимизации нелинейных динамических и стационарных систем на основе инте-гростепенного ряда Вольтерра и сеточных методов решения соответствующих одно- и многомерных ИУ, а также исследованы вычислительные качества в соответствующей задаче полустатистического метода решения ИУ большой размерности, методов квази Монте-Карло, центральных прямоугольников (ячеек) и квадратурных формул Гаусса-Лежандра.
• областям исследования паспорта специальности, в частности:

пункту 1 - «Теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации», а именно, разработка, исследование и применение комбинированного метода анализа и оптимизации нелинейных динамических систем на основе интегростепенных рядов, регуляризации и методов Монте Карло и квази Монте Карло.

паспорту научной специальности 1.2.2. — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ:

• формуле паспорта специальности', применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ для решения научных и прикладных проблем, так как в работе рассматриваются вопросы оптимизации размещения предприятий, аппаратов, равногабаритных элементов электронных цепей с критерием минимума взвешенной длины соединений на основе ортогональной метрики при помощи комбинаторных аналогов известных континуальных моделей и методов.
• областям исследования паспорта специальности, в частности:

пункту 1 — «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений», а именно, разработка, исследование и применение эффективных оптимизационных моделей и комбинаторных аналогов континуальных методов для оптимизации размещения предприятий, аппаратов, элементов электронных цепей;

пункту 4 - «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», соответствует совершенствование методов Монте Карло и квази Монте- Карло для peшения многомерных ИУ и полной проблемы собственных значений, а также для решения задачи квадратического назначения на основе комбинаторных аналогов известных континуальных методов с относительно высоким быстродействием и минимальными требованиями к объему памяти;

Апробация результатов. Основные положения и результаты исследовательской работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на:

• V и VI Национальных конференциях профессорско-преподавательского состава и научных работников ЮРГПУ (НИИ). Новочеркасск, 2020 и 2021 гг.
• на международной конференции 2022 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM).

В полном объеме результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры «Прикладная математика» факультета «Информационные технологии в управлении» ЮРГПУ им. М.И. Платова».