ВВЕДЕНИЕ

Проверке гипотез о принадлежности выборки равномерному закону распределения посвящено множество работ, в которых авторами предложен достаточно обширный перечень статистических критериев. В определенной степени обилие критериев обусловлено тем интересом, который проявляется к использованию модели равномерного закона в различных приложениях. Частота применения модели равномерного закона в задачах статистического анализа в приложениях не в последнюю очередь определяется тем, что использование такой простой модели во многих ситуациях позволяет найти решение задачи с опорой только на аналитические методы. Если применение модели равномерного закона обосновано, то многие статистические выводы оказываются проще.

Равномерный закон зачастую используется для описания ошибок измерений некоторых приборов или измерительных систем.

В системах статистического моделирования крайне необходима возможность моделирования псевдослучайных величин в соответствии с различными параметрическими законами, что, как правило, реализуется на базе датчиков равномерных псевдослучайных величин с использованием метода обратных функций. Понятно, что результат в существенной степени зависит от качества датчика равномерных псевдослучайных чисел.

Множество приложений, в которых сталкиваются с использованием модели равномерного закона распределения вероятностей, объясняет повышенный интерес к выбору простых в вычислительном отношении и эффективных критериев проверки гипотез о принадлежности анализируемых выборок равномерному закону.

Если случайные величины Х_х,Х₂,...,Х_п принадлежат некоторому закону с функцией распределения вероятностей F(jc) , то случайные величины Y_j = F^X^, i = l,л распределены равномерно на интервале [0,1]. Поэтому во многих ситуациях вместо проверки гипотезы о принадлежности выборки Х_х,Х₂,...,Х_п закону с функцией распределения /⁷(х) зачастую переходят к проверке гипотезы о принадлежности Y_vY₂,...,Y_n равномерному закону. Не будет лишним заметить, что при подобном переходе использование классических критериев проверки равномерности, ориентированных на проверку простой гипотезы о принадлежности выборки равномерному закону, корректно, если F(x) известно с точностью до

значений параметров. Если же вектор параметров в закона F[x,6) оценивался по выборке Х₁,Х₂,...,Х_п, то при справедливости проверяемой гипотезы Н₀ распределение статистики любого критерия равномерности будет отличаться от имеющего место при проверке простой гипотезы.

Наличие множества критериев ставит перед практиками не очень простую задачу выбора, так как имеющаяся в публикациях информация не позволяет однозначно отдать предпочтение какому-то определенному критерию.

При подготовке данного руководства множество рассматриваемых критериев равномерности исследовалось методами статистического моделирования. При исследовании распределений статистик соответствующих критериев количество экспериментов, осуществляемых при статистическом моделировании, как правило, принималось равным 1 660 000. Такое количество экспериментов позволяет, с одной стороны, проследить качественную картину, отражающую изменение распределений статистик в зависимости от различных факторов, с другой - обеспечить приемлемую точность получаемых оценок мощности и искомых вероятностей.

Компьютерные методы анализа дают возможность выявить достоинства и недостатки отдельных критериев, оценить при каких объемах выборок отличием действительных распределений статистик (при справедливости проверяемой гипотезы) от асимптотических (предельных) распределений статистик можно практически пренебречь, позволяют провести сравнительный анализ мощности критериев относительно различных конкурирующих гипотез, выделить наиболее предпочтительные критерии.

В первом разделе даны некоторые общие сведения, связанные с проверкой статистических гипотез, позволяющие специалистам, сталкивающимся с необходимостью статистического анализа данных экспериментальных исследований, с пониманием относиться к выбору критерия и результатам статистических выводов, корректно применять соответствующие критерии. Здесь же приводятся законы, близкие к равномерному и рассматриваемые в качестве конкурирующих гипотез, относительно которых в последующих разделах приводятся оценки мощности различных критериев, применяемых при проверке гипотезы о принадлежности анализируемых выборок равномерному закону распределения. Законы, соответствующие конкурирующим гипотезам, подобраны так, чтобы продемонстрировать “узкие места” и реальные возможности критериев, особенно, при ограниченных объёмах выборок.

Во втором разделе рассматривается множество специальных критериев, ориентированных исключительно на проверку гипотезы о принадлежности извлекаемых выборок (анализируемых данных) равномерному закону, подчеркиваются недостатки отдельных критериев, приводятся оценки мощности критериев относительно рассматриваемых конкурирующих гипотез, приводятся результаты сравнительного анализа мощности критериев. Пожалуй, впервые явно демонстрируется (при малых объёмах выборок и малых уровнях значимости) смещённость некоторых критериев относительно определенных конкурирующих гипотез.

В третьем разделе для проверки гипотезы о равномерности рассматривается применение множества классических непараметрических критериев согласия, приводятся оценки мощности критериев и результаты сравнительного анализа. Также впервые показывается, что при малых объёмах выборок целый ряд критериев согласия оказываются смещёнными относительно тех же конкурирующих законов, которые не могут отличать от равномерного и некоторые специальные критерии.

В четвертом разделе рассматриваются вопросы применения для проверки равномерности критерия согласия %² Пирсона. Оценки мощности критерия сравнивается с мощностью непараметрических критериев согласия.

В пятом разделе приведен сравнительный анализ мощности всего множества рассмотренных критериев, даются рекомендации по применению конкретных критериев.