Основные свойства выборочных оценок. Несмещенность, состоятельность, эффективность и достаточность оценок

Чтобы выборочную оценку можно было считать доброкачественной и пригодной для решения практических задач статистики, она должна обладать определенными свойствами. Наилучшие оценки являются несмещенными, состоятельными, эффективными и достаточными. Рассмотрим эти свойства оценок.

1 Несмещенность оценок. При использовании оценки вместо истинного значения параметра желательно, чтобы не было систематической ошибки (смещения). Требование несмещенности оценки особенно важно при небольшом объеме выборки.

Выборочная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно значению параметра в генеральной совокупности.

Таким образом, оценка является несмещенной, если она удовлетворяет равенству м (Э — 0 = О при любом объеме выборки.

Иначе говоря, если оценка является несмещенной, то справедливо равенство М <Э —О = О. Если же имеет место некоторое смещение, то М 0 — 0 = Р , где Р > 0 выражает величину смещения оценки.

Например, средняя арифметическая выборочная X является несмещенной оценкой генеральной средней Х_о , так как

Поскольку М (х_] ) = Х_о, то имеем

Математическое ожидание выборочной средней равно средней генеральной.

Несмещенность является минимальным требованием. Чтобы оценка была наилучшей, она должна обладать еще и другими свойствами. Следующим важным свойством является состоятельность.

2. Состоятельность оценок. При выборе той или иной оценки важно, чтобы с увеличением численности выборки оценка все больше и больше приближалась к искомому параметру, или, как говорят, чтобы оценка сходилась по вероятности к искомому параметру. Оценки, удовлетворяющие этому требованию, являются состоятельными.

Таким образом, выборочная оценка ©некоторого параметра О, полученная на основе п независимых наблюдений, называется состоятельной, если вероятность того, что разность |® — ®| будет сколь угодно малой и стремится к единице при неограниченном увеличении объема выборки п. Иначе говоря, оценка состоятельна, если выполняется равенство:

где є сколь угодно мала.

Например, можно показать, что выборочная средняя арифметическая является состоятельной оценкой генеральной средней. Это свойство интуитивно очевидно: с приближением объема выборки п к объему генеральной совокупности N выборочная средняя все больше приближается к математическому ожиданию.

При использовании состоятельных оценок увеличение объема выборочной совокупности сопровождается повышением репрезентативности выборки.

3. Эффективность оценок. Поскольку сама оценка является случайной величиной, то надежность выводов на основе выборочной оценки тесно связана с величиной возможного ее рассеяния, т. е. зависит от дисперсии оценки.

Действительно, если оценка не смещена, то ее дисперсия выражает величину рассеивания оценки около искомого параметра генеральной совокупности. Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше возможная величина ошибки репрезентативности. Поэтому важно, чтобы выбранная оценка имела по сравнению с другими возможными оценками наименьшую дисперсию.

Поскольку дисперсия оценки отражает надежность статистических выводов, то она на практике отождествляется с ошибкой оценки. Среднее квадратическое отклонение выборочной оценки называют ее средней ошибкой. В общем случае среднюю ошибку определяют так:

Ввиду особого значения этого показателя в экспериментальном деле в дальнейшем для обозначения средней ошибки будем пользоваться СИМВОЛОМ Шф.

Выборочная несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими возможными оценками.

Пусть 0_О и 0, являются двумя возможными выборочными оценками одного и того же параметра 0. Пусть, к тому же, 0_О имеет минимальную дисперсию из всех возможных оценок, т. е. является эффективной оценкой. Следовательно, по условию D (®о)^< D (®i)- Тогда возможно точно измерить сравнительную эффективность оценок.

В качестве меры эффективности можно принять отношение минимально возможной дисперсии некоторой другой оценки. Обозначив эффективность оценки через Е, имеем

Нетрудно видеть, что эффективность меняется от 0 до 1. Если указанное отношение равно единице, то оценка Е также является эффективной. Чем ближе отношение к единице, тем выше эффективность оценки.

Понятие эффективности проиллюстрируем следующим примером.

Производится оценка математического ожидания некоторого признака в генеральной совокупности по выборке при п = 1000. В качестве выборочной оценки можно воспользоваться выборочной средней X или выборочной медианой Мох. Каждая из этих оценок имеет свою дисперсию. Дисперсии этих оценок вычисляются по формулам (их вывод будет обоснован позже)

Тогда эффективность выборочной медианы по отношению к выборочной средней выразится как

Таким образом, эффективность выборочной медианы гораздо ниже выборочной средней. Как показывает Е = 0,637, для получения одинаковой точности оценки математического ожидания по средней арифметической достаточно использовать всего 637 наблюдений, вместо 1000 наблюдений при оценке по медиане.

В некоторых случаях эффективность оценки зависит от объема выборки и при увеличении численности показатель эффективности асимптотически приближается к единице, т. е.

Если состоятельная оценка 0, становится эффективной в пределе при п —> со, то оценка называется асимптотически эффективной. Для асимптотически эффективной оценки справедливо соотношение

где ©₀ - эффективная оценка с минимальной дисперсией.

Между свойствами оценок существуют определенные соотношения. Рассмотрим соотношения между несмещенностью оценки, ее дисперсией и состоятельностью.

Можно показать, что если оценка является несмещенной и если дисперсия этой оценки стремится к нулю при п —> со, то такая оценка является состоятельной.

В справедливости этого положения можно убедиться, воспользовавшись известным неравенством Чебышева:

Подставляя вместо случайной величины X исследуемую нами оценку 0, имеем

Но по второму условию высказанного выше утверждения

Поэтому второй член в правой части неравенства будет равен нулю. Поскольку вероятность не может быть больше единицы, то знак > следует заменить на знак равенства. Учитывая это и переходя к пределу, неравенство Чебышева перепишем так:

По первому условию рассматриваемая оценка является несмещенной, т. е. М (©) — 0 при любом п. Учитывая это, имеем

Как было показано выше, оценки, удовлетворяющие этому условию, называются состоятельными, что и требовалось установить.

Воспользовавшись доказанным положением, выясним, является ли выборочная средняя арифметическая состоятельной оценкой генеральной средней.

Выше уже было показано, что средняя выборочная является несмещенной оценкой. Поэтому для доказательства ее состоятельности достаточно показать справедливость равенства

Подставляя в это уравнение значение дисперсии выборочной средней, имеем

Справедливость этого уравнения очевидна, так как при конечной дисперсии и при п —> со предел отношения равен нулю.

Следовательно, выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней.

4» Достаточность оценок. Выборочная оценка называется достаточной, если она включает всю информацию, которая содержится в выборке относительно определяемого параметра.

Если, например, по выборке xi, xi,.... х_п производится оценка неизвестной вероятности Р, то вполне достаточно знать S , т. е. общее число случаев, благоприятствующих данному событию. Отдельные же значения Xj уже не содержат никакой новой информации и ничего не поясняют относительно значения Р.

Выборочная средняя арифметическая является достаточной оценкой, т. е. она включает всю информацию относительно математического ожидания. Медиана же не обладает этим свойством.

5. Особенности статистического вывода. Выше рассмотрено, какими свойствами должна обладать выборочная оценка, чтобы ее можно было считать наилучшей из возможных. Остается выяснить, какими же методами отыскиваются такие выборочные оценки. Но прежде необходимо рассмотреть некоторые особенности статистических умозаключений на основе выборочных оценок.

Важнейшая задача математической статистики состоит в том, чтобы по выборочным данным получить наиболее рациональные статистические оценки искомых параметров генеральной совокупности. Часто при этом форма теоретического распределения предполагается известной и поэтому для полного описания закона распределения достаточно лишь оценить параметры распределения.

В общем случае статистические умозаключения связаны с решением особого типа задач, которые возникают при обобщении фактов, полученных на основе ограниченной выборочной совокупности и распространения выводов на всю генеральную совокупность. Характер статистических выводов зависит от решаемых конкретных задач.

Различают два вида статистических выводов:

• статистическая оценка;
• проверка статистических гипотез.

Рассмотрим их особенности.

1. Основная задача проверки статистических гипотез заключается в обосновании выбора между некоторыми альтернативными (взаимно исключающими) решениями. Например, требуется выяснить, превышает ли © некоторое определенное значение О.

В статистике разработаны определенные решающие правила (критерии), которые позволяют исследователю обоснованно выбирать одно из альтернативных решений: а) © >0;б) © < 0.

В зависимости от конкретного исхода выборки выдвинутая гипотеза либо принимается, либо отвергается. Аналогичные ситуации с необходимостью выбора альтернативных решений возникают также в случаях, когда, например, хотят выяснить: принадлежит ли данная выборка к генеральной совокупности, параметры которой известны, принадлежат ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности или существенно различаются и т. и.

2. В случае статистической оценки основная задача заключается в выборе и обосновании наилучших оценок, а выводы и обобщения сводятся к оценке неизвестных параметров генеральной совокупности. При этом задача оценки неизвестных параметров может быть решена двояко: либо неизвестный параметр характеризуется одним числом (точкой), либо указывается интервал, в котором с некоторой вероятностью может находиться искомый параметр.

В связи с этим различают два метода статистической оценки: а) точечная оценка (оценка точки); б) интервальная оценка.

Таким образом, оценка неизвестных параметров и проверка гипотез - это два специфических вида статистического умозаключения. В данной главе основное внимание будет сосредоточено на вопросах статистической оценки. Вначале ниже рассмотрим точечную оценку, затем интервальную.