ВВЕДЕНИЕ

Дисперсионные силы связаны с электромагнитными флуктуациями и проявляются в различных аспектах взаимодействия компонент конденсированного состояния вещества: взаимодействия атомов и молекул между собой и с макрообъектами, взаимодействия нанокластеров, взаимодействия между макроскопическими объектами. В данной главе под макроскопическими объектами мы понимаем тела, описываемые макроскопическими материальными параметрами, в частности, диэлектрической проницаемостью и проводимостью. При этом сами тела могут иметь малые размеры, или некоторые их размеры могут быть малыми, например, порядка нанометров. Флуктуирующие электромагнитные поля ответственны за такие важные физические явления, как тепловое излучение, радиационный теплообмен, взаимодействия ван дер Ва-альса на малых расстояниях между молекулами и нанокластерами, включая ван дер ваальсово трение, эффект Казимира и силы Казимира-Лифшица между телами [1-22]. Флуктуации обусловлены как тепловыми движениями [5,7-10], так и с “нулевыми” энергиями вакуума и атомов (частиц) вещества, связанными с испусканием и поглощением виртуальных фотонов [1,3,4,6,18,21]. Такие флуктуации возможны при нулевой температуре и приводят к ряду физических эффектов, связанных с квантовым вакуумом: лэмбовскому сдвигу [6,13,18], спонтанной эмиссии и эффекту Парселла [2], эффекту Казимира [3,21]. Строгий анализ таких эффектов поляризации вакуума в присутствии вещества требует применения методов квантовой электродинамики, в связи с чем и возникла макроскопическая квантовая электродинамика [17]. В нагретых структурах дисперсионные силы обычно рассматривают при равновесном случае, но весьма интересны задачи взаимодействия и передачи тепла в неравновесных структурах. Для таких задач развивается теория температурных функций Грина и функций Грина-Келдыша равновесной и неравновесной статистической механики [8-11,21,23,24]и соответствующая диаграммная техника.

Наряду с квантовым подходом, который достаточно сложен, возможен классический анализ дисперсионных сил.Он основан на введении в классические уравнения Максвелла флуктуационных источников и решении задачи о возбуждении ими макроскопических тел с вычислением корреляций электромагнитных полей и связанных с ними величин (плотностей тока и заряда). Подход основан на описании тел макроскопическими параметрами - диэлектрической проницаемостью (ДП) є и проводимостью, а также на флуктуационно-диссипационной теореме

[5,10,25]. В данной главе рассмотрен именно такой подход, основанный на методах классических вакуумных функций Грина электродинамики. Впервые он был намечен в работе Лифшица [7], где был использован метод сшивания и метод Фурье. Ниже метод ФГ будет рассмотрен совместно с методом Фурье, а также совместно с проекционным методом решения интегральных уравнений (ИУ). Для 2D структур типа бесконечных листов графена будет рассмотрен отдельно метод сшивания. Он также может быть применен к слоистым структурам, но это сопряжено с громоздкими соотношениями.

Рассмотренный тип задач отличается от обычных электродинамических задач о возбуждении тел следующим. Для дисперсионного взаимодействия следует рассматривать как минимум два тела. Все сторонние источники (флуктуационные плотности токов) присутствуют в самих телах, тогда как при возбуждении тел они обычно являются внешними. Все такие источники имеют нулевые статистически средние значения и ненулевые корреляции, которые известны. Дисперсионные силы вычисляются через корреляции полей, которые следует определять через известные корреляции флуктуационных величин. В выражениях для сил и энергий могут присутствовать расходящиеся (бесконечные) величины, связанные с самодействием тел на себя. Такие величины следует исключать

Далее будет рассмотрено два метода введения дисперсионных сил: с использованием тензора натяжений Максвелла (ТНМ) и с использованием силы Лоренца взаимодействия поля с плотностями тока и заряда. Мы не рассматриваем магнитные свойства вещества, придерживаясь концепции, что магнитный отклик на высоких частотах может быть рассмотрен с учетом только тензора диэлектрической проницаемости при учете пространственной дисперсии. Низкочастотные же магнитные свойства веществ определяются в основном квантовым взаимодействием спинов. Формально метод ФГ может оперировать как с ДП е, так и с магнитной проницаемостью (МП) //. Вакуумные ФГ удобны тем, что диэлектрик и магнетик могут быть описаны как входящие в правые части вакуумных уравнений Максвелла источники токов поляризации: электрического J7'(0(f(и магнитного 1"'(щ,к,г) = /щд)^/(щ,к,г)-/)н(щ,к,г). При этом зависимость от волнового числа и частоты означает пространственно-частотную дисперсию, т.е. пространственно-временные спектральные разложения полей и использование зависимостей типа exp(zfrf - /кг). Далее в ряде случаев будем пренебрегать пространственной дисперсией, т.е. использовать

f(ЄСО,г). Более того, во всех приведенных задачах для простоты будем использовать скалярные ДП, т.е. соотношения 1/’(щ,к,г) = /щ?-0(^(щ,г)-1)Е(щ,г). Далее обозначаем

v(a> = і а>?0 (а>, г) -1)

Взаимодействие между макрообъектами началось исследоваться с работы Казимира [3]. Оно может иметь характер притяжения [3,7,21] или отталкивания [21,26,27]. Теория Лифщица для произвольной температуры была построена для протяженных в глубину объектов, разделенных плоским вакуумным зазором [7]. Протяженность означает полное затухание падающего излучения вглубь структуры, в связи с чем Лифшиц рассмотрел только силу, действующую со стороны зазора на поверхность полупространства. Рассмотренные в главе объекты протяженными в указанном смысле не являются и требуют рассмотрения сил, приложенных ко всей их поверхности, а чисто и объемных плотностей силы. В ряде работ теория Лифшица была развита с применением квантово-полевого подхода на основе температурных функций Грина (ФГ) квантовой статистической физики [8,9,11], а также применительно и к более сложным конфигурациям [21]. В последнее время возрос интерес к дисперсионным силам. Он связан с определением возможности изменения знака силы от притягивающей к отталкивающей (репульсивной), с взаимодействием между нанокластерами типа углеродных нанотрубок (УНТ), графеновых листов и нанолент, с определением сил для тел с произвольными конфигурациями [21,28-31]

Рассматриваемый классический подход включает в себя решение электродинамической задачи при задании флуктуационных источников с определением сил с привлечением корреляций полей. Для выражения полей через источники использованы вакуумные функции Грина электродинамики. Силы определены через тензор напряжений Максвелла или с использованием силы Лоренца. Другой возможный подход состоит в определении свободной энергии. Зная ее выражение, можно определить силу. Далее использованы корреляционные соотношения в 3D структурах, 2D структурах и 1D структурах.Все они основаны на флуктуационно-диссипационной теореме. Уравнения Максвелла для взаимодействия двух тел с тензорной ДП ?^(0, г) гласят

Уравнение (1.1) можно переписать в виде

Здесь индекс 0 означает флуктуационные источники, а индекс d — дифракционные или поляризационные источники J^(0(e(при этом мы опустили зависимость от к, т.е. пространственную дисперсию.Она может подразумеваться, если (1.1) и (1.2) считать пространственно-частотными спектрами уравнений Максвелла в координатно-временном представлении. Взяв ротор от (1.2) и подставив в (1.1), получим

Решением этого уравнения с правой частью - 15(г — г') является тензорная электрическая функция Грина ФГ электрического типа Гее(г,г'). Зная ее, находим решение задачи

Поскольку корреляции флуктуационных источников заданы, эти соотношения позволяют определить корреляции полей. Однако найти такую ФГ, поэтому далее будем использовать вакуумные ФГ. Вакуумная ФГ Г_о^ее(г,г') может быть получена из f^e<,(r,r') при с(ы.г)=1. Мы будем использовать ФГ с другими нормировками, введя скалярнуюва-куумную ФГ G(-1 ехр(—/А'₀|г|) и определяя вакуумныеФГ ГГ(г,г')=(io)s₀ (v ® V + кІї}з(а),г - г'),

Г™ (г,г') = іcoSqV х f i '^e(г,г') = Atq V x IG(a>,г - г. Для диэлектрической среды следует ввести ФГ Г^е_?^е (г, г') = (ісоє₀є) ¹ (v ® V + Aq єї)g(zo, г - г. Мы также определим rj^e(r,r') = (іа>є₀) 'f^rr'). Здесь оператор ротор следует трактовать как матричный оператор. Он может быть записан через тензор Леви-Чевитты как є _V(f)_а, или представлен с помощью матрицы

3x3 как и оператор V ® V с компонентами д„д„. Здесь и далее грече-/7 V

ские символы соответствуют x,y,z, по повторяющимся индексам идет суммирование.

Для равновесной материальной среды при температуре Т имеют место корреляционные соотношения

где п,т = 1,2 и обозначена средняя энергия квантового осциллятора

Для изотропной диэлектрической среды корреляции выражаются через мнимую часть -є"(со,г)диэлектрической проницаемости

Скобки в выражении {А,В} означают статистическое усреднение (усреднение по ансамблю) величины АВ . Найдем корреляции компонент электрического поля:

В случае анизотропной среды

Корреляции доля компонент магнитного поля можно найти, обозначив Г'™ (г,г') = V xf^ee(r,r'). Именно

Отметим, что матрица, соответствующая оператору “ротор”, имеет вид

Использование вакуумных ФГ требует выражения всех величин через значения флуктуационных источников. В этом случае находятся и все корреляции. Указанную задачу можно решить двояким образом. Первый состоит в использовании разложений по заданным базисным функциям и в определении коэффициентов разложения через флуктуационные источники. Второй подход основан на пространственных разложениях Фурье. Мы будем определять пространственный спектр в виде

Обратное преобразование имеет вид

Кратные интегралы в нем обозначены одним символом. Аналогичные соотношения записываем для J^(o>,k) и полей. Полные поля мы представляем в виде суммы флуктуационных и дифракционных частей обоих тел:

Приведенные поля выражаются через источники с помощью вакуумных ФГ в виде

Далее мы также будем использовать спектральные соотношения для (1.18) и (1.19), для чего понадобятся спектральные представления вакуумных ФГ:

Здесь g((к² - ?? ) ¹, к² = к² = к² + к² + к², q² = q² = к² + к², к_х = Jk^ - q² , к₀ = со/с, зависимость от частоты часто будем опускать, знак корня при/<₍²<(/² выбирается так, что А'_Л =-ік = -iy)q² -кц .

Для ФГ Г^е(г,г') имеет место уравнение Дайсона

Решение (1.21) можно строить методом последовательных приближений

Используя (1.16), получаем

Обозначая E°(l(т.е. взяв нулевое приближение е( Е°(видим, что ИУ (1.23) имеет вид уравнения Лип-пмана-Швингера, которое также можно решать методом последовательных приближений:

Для изотропных однородных тел уравнения типа (1.24) хорошо сходятся, если параметр /(fti) = є(щ) -1 мал. При вычислении определяющих дисперсионные силы корреляций на основе (1.24) в них входит малый параметр, сильно убывающий при увеличении расстояния между телами. За счет этого сходимость в дальней зоне достаточно хорошая, и модно использовать первое приближение