ДИСПЕРСИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОНКИХ НИТЕЙ

Тонким проводящим и диэлектрическим нитям могут соответствовать разные физические объекты: нанопроволоки, углеродные нанотрубки (УНТ), тонкие и длинные диэлектрические цилиндры, длинные молекулы, графеновые наноленты.Для всех них важна поперечная структура. Принципиально нет разницы между проводящими и непроводящими нитями: их можно описать током поляризации, имеющим только продольную компоненту и определенным образом зависящим от поперечной структуры. Такое описание приближенное и соответствует квази-1D структурам. При строгом учете поперечной структуры это 3D-объекты.

Постановка задачи

Поле тонкой проводящей нити приведено в монографии [32] и дается формулами (2.85), (2.86) на стр. 59, которые имеют вид:

Н_р = Н_: =0, Е,_р = 0, к = -iyjy² - kg . Здесь бесконечно длинная и тонкая нить расположена в начале координат вдоль оси z. По ней течет линейный ток /-(щ,/,с) = /₀(щ,/)ехр(/(йУ-^)) • Соответственно (2.1)-(2.3) - внешние поля, а внутренняя структура нити не рассматривается. Обозначение индекса zh частоты часто далее будем опускать. Рассмотренная зависимость I_ представляет собой монохроматическую волну тока с заданной длиной волны. Для того чтобы получить произвольное распределение тока, следует взять суперпозицию

Взяв обратное преобразование (которое является прямым спектральным преобразованием)

мы получаем пространственно-частотный спектр /_(й>Л_) = /0(щ,у), у = к.. Таким образом, если опустить множитель ехр(— zjc), соотношения (2.1)—(2.3) записаны для пространственно-частотных спектральных амплитуд. Для восстановления временных зависимостей также следует интегрировать по частоте с множителем (2тт) 1ехр(/гл). Во втором интеграле мы взяли конечную длину 21. Спектральные уравнения для конечных и бесконечных нитей одинаковые. Различаются только спектральные амплитуды

Мы рассмотрим еще вторую точно такую же нить в точке p = d, $> = 0. Известно, что при синфазном токе нити притягиваются, а при противофазном - отталкиваются (закон Ампера). Но закон Ампера формулируется для постоянного тока. Для последнего (О = 0, у = 0 . Закон Ампера можно получить из формулы для силы Лоренца. Из этой формулы следует, что два одинаковых заряда, движущихся в одном направлении перпендикулярно расстоянию между ними притягиваются за счет магнитной силы Лоренца и отталкиваются за счет электрической силы. За счет этого, например, в релятивистском пучке электронов возникает пинч-эффект. Однако на больших расстояниях следует учитывать запаздывание, что в формулах (2.1)-(2.3) выражается в наличии функций Ган-келя второго рода. Эти формулы можно применить для расчета взаимодействия за счет силы Лоренца, включая и ее электрическую часть. На малых расстояниях последняя описывается взаимодействием наведенных на нитях зарядов по закону Кулона. Как известно, магнитная сила Лоренца есть фундаментальное следствие закона сохранения импульса, следующего из уравнений Максвелла [33]. Мы их запишем в форме

где z;0 = у1е0 / /z0 . В эти общие уравнения мы ввели как источники плотности флуктуационных J° и дифракционных (поляризационных) токов в вакууме. Для тонких нитей мы взяли одну z-компоненту. Плотности токов поляризации J^(0(f(описываюттела, определяемые их диэлектрической проницаемостью (ДП) Є [32]. Нити находятся при температуре Т в термодинамическом равновесии друг с другом и с вакуумом. Случайные атомные и зарядовые флуктуационные токи обусловлены тепловым полем, взаимным влиянием движущихся зарядов и взаимодействием с вакуумными нулевыми колебаниями (виртуальными фотонами). Для нитей они обуславливают флуктуационные плотности J° (г) = z07° ехр(- ір)д{р - рп W}/pn ’ р, = О, р2 = d (раскрытие неопределенности для нити в начале координат при рх = 0 см. в [32], формула (2.81)). По смыслу - линейные токи, текущие по осям нитей. Наводимые ими поля возбуждают на нитях дифракционные плотности токов, которые также можно рассматривать как линейные и осевые. Эти плотности наводятся за счет погонных проводимостей Г)п нитей. Формально можно написать — J)nE_, где Е_ -компонента полного электрического поля на оси нити с номером п. Нить будем рассматривать как некий физический объект с поперечной структурой. Дифракционные плотности возбуждают свои поля, которые также дифрагируют на нитях. В результате многократных рассеяний возникает самосогласованное распределение дифракционных плотностей, которое необходимо определить, используя флуктуационные плотности. В случае антенн с заданным распределением тока, созданного сторонними источниками, следует определять наведенные токи из связанных интегральных уравнений (НУ). При этом можно найти силу взаимодействия антенн. Такие НУ имеют форму уравнений Липпмана-Швингера и могут быть решены методом итераций (последовательных приближений). При дисперсионном взаимодействии флуктуационные токи имеют нулевые средние значения, но ненулевые корреляционные функции (далее корреляции), поэтому сила определяется через указанные корреляции, через которые следует выразить все корреляции полей и плотностей дифракционных токов. В этом и состоит наша цель

Мы рассматриваем только электрические источники. Закон сохранения импульса для монохроматических уравнений (2.4), как известно, получается следующим образом. Умножим первое уравнение справа векторно на //0 Н , а второе - векторно на ?0Е и сложим. Затем проделаем то же с сопряженными уравнениями и несопряженными полями. Результат разделим на четыре. Обозначим

F,L = A, х Н* + jf X н)/ 4, Fl, = р0 (j° X Н + J°* X н)/ 4 . Это усредненные за период объемные плотности силы Лоренца, действующие на тела, и плотности силы отдачи от флуктуаций, также действующие на тела. Результат можно записать так [33]:

Здесь Т((О, г) - трехмерная часть спектрального тензора энергии-импульса (ТЭИ) в вакууме, обратная тензору натяжений Максвелла (ТНМ). В частности, плотность электрической энергии в ТНМ есть г₀|Е(бс>,г)|² /4. Она определена для положительных частот. Для электрического и магнитного спектральных полей на отрицательных частотах выполняются соотношения типа е(-<у,г) = Е*(<у,г), поэтому с учетом отрицательных частот результат следует удвоить. Соответственно спектральный интеграл от?₀(е(щ,г),Е(щ,г)У тгпо положительным частотам дает правильный результат для плотности электрической энергии поля. Корреляция (а(і),В(і - г)) означает статистическое усреднение (усреднение по ансамблю) [10]. Спектральная же корреляция означает статистическое усреднение комплексной квадратичной величины А (со)В* (со) = [а (со)В* (со) + А * (- со)в(— <у)]/ 2 . Интеграл с учетом отрицательных частот от (а(со),В(со)) равен интегралу по положительным частотам от величины Re(A(co),B(co))/2. С учетом этого спектральная корреляция осуществляет усреднение за период и усреднение по ансамблю. Соотношение (2.5) говорит о том, что плотность потока импульса в вакууме определяется плотностью сил Лоренца, действующих на тела, поскольку как флуктуационные токи, так и поляризации определяются движениями зарядов тела. Поток импульса через окружающую тела бесконечно удаленную поверхность противоположен изменению полного импульса тел. Если поток нулевой, суммарный импульс тел не меняется. Окружив тела такой поверхностью, исключим объем первого тела, и проинтегрируем (2.5) по оставшемуся объему. Если поток импульса через бесконечно удаленную поверхность равен нулю, то результат гласит: полный передаваемый первому телу импульс равен по величине и противоположен импульсу отдачи второго тела. В этом случае уравнение (2.5) говорит об эквивалентности введения дисперсионных сил с использованием ТНМ и магнитной силы Лоренца. Правда такой ТНМ создается только источниками второго тела. Обычнопри выводе дисперсионных сил рассматривают ТНМ, созданный обоими телами [7], и тогда для определения силы можно использовать только ТНМ.

Для одиночной нити поток импульса через бесконечно удаленную цилиндрическую поверхность равен нулю. В случае двух бесконечно тонких нитей полный поток через такую поверхность для каждой нити равен нулю, поскольку на вторую поглощающую и рассеивающую нить приходится бесконечно малый участок поверхности. При термодинамическом равновесии с вакуумом излучаемая нитью мощность равна поглощаемой ею из вакуума мощностью. Для определения сил следует рассмотреть структуру поглощающего тела. Проводящая нить может быть металлической нанопроволокой. Глубина проникновения в металл на всех рассматриваемых частотах существенно больше радиуса такой нанопроволоки. Поэтому по ней течет постоянная по сечению дифракционная плотность тока = ехр(-/^)/(ла^). Если нить рас

сматривается как полая УНТ, то ее поверхностная плотность тока равна

= ехр(- . Флуктуационные плотности имеют такой

же вид. Динамическую (частотную) удельную проводимость металла у(гц) можно записать через его ДП ? или восприимчивость % = є — 1 как v(ft>)= На низких частотах ДП металла

є = -ico² /(a>>_c)=-i v₀ /(&»???) выражается через его проводимость на постоянном токе V_o , определяемую через плазменную частоту а>_р и частоту столкновений ^.Поскольку J^(z)= vE^z) (поперечной зависимостью пренебрегаем), то г]_п = na~_nv. Проводящая нить может быть полой УНТ. Тогда рассматриваем поверхностную плотность тока у‘С и поверхностную проводимость ст. В дальней зоне они создают такие же поля, как линейный ток бесконечно тонкой нити с линейной проводимостью. Для тонкой УНТ в начале координат, возбуждаемой другой тонкой УНТ на большом расстоянии d по оси х, эта плотность не зависит от угла ср. Поэтому 1^ =17ia_nj^_z, j^. = оЕ_:, Т)_п =2m_n(J. Взаимодействие двух нитей таково, что на каждую действуют равные и противоположные силы, при этом в термодинамическом равновесии общий импульс системы сохраняется.

В общем случае следует учитывать и электрическую часть плотности силы Лоренца. Без учета запаздывания она следует из закона Кулона и для незаряженных тел определяет диполь-дипольное взаимодействие. Такое взаимодействие не изменяет общий импульс тел. Учет запаздывания осуществляется посредством взаимодействия зарядов с электрическим полем, при этом возможен скрытый импульс, заключенный в поле. Если в теле есть объемная плотность электрического заряда Д(г), то на нее со стороны поля действует электрическая сила с плотностью Гл,=э(г)Е(г). Если используются комплексные квадратичные спектральные величины, их следует брать усредненными за период 2л7й), т.е. F_e? = Re(/?(r)E (г))/2. В реальных квазимонохроматических полях частота положительная. В случае определения дисперсионных сил следует еще взять корреляцию (f/) = Re((p(^r),е(г))), т.е. произвести статистическое усреднение и удвоить результат. Удвоение связано с интегрированием по отрицательным частотам (см. например, [10]). Рассматривая электрическую часть плотности силы, действующую на первое тело, следует учитывать только ту часть поля, которая создана вторым телом. Другая часть поля, созданная первым телом, не зависит от расстояния между телами d и определяет самодействие. Ее следует исключить, т.е. взять F^ =Re^/5₁°(r)+/5₁^a'(r),E°(r) + E2(r)^. Здесь A?=1V-J“/ со - объемные флуктуационные плотности зарядов. Также определяем = zV- / со. Исключение бесконечных величин и величин, связанных с самодействием - обычно используемый прием в теории дисперсионных сил [7]. Аналогично для магнитной части плотности силы имеем=//₀Re^J°(r)+ Jf(г),х(н°(г)+Нэ(г)^/2. Для вычисления полной силы сумму этих плотностей следует проинтегрировать по объему, а затем проинтегрировать по частоте. Для диэлектрических и металлических тел с резкой границей имеет место наличие плотности поверхностных зарядов. Взяв дивергенцию от уравнения (2.4), получим e_oeV • Е = р + /5° - f₀EV(e -1). Градиент в последнем члене равен v(e - 1) = -(е - 1)р₀<^(/7 - й)), где обозначен единичный орт-вектор вдоль радиуса Ро, поскольку градиент направлен вдоль него. Дельтафункция указывает, что это поверхностная плотность заряда. Она связана со скачком радиальной компоненты электрического поля на гра-нице и равна o-j =є₀(1-є^-1)е'_1л?/(є). Здесь разрывная компонента Е_1р = Е°_р + Е^ берется на внешней поверхности тонкой металлической цилиндрической проволочки или диэлектрической нити и определяется только ее полем, поскольку поле второго тела непрерывно вне его объема, т.е. в области определения силы. Эта плотность силы поверхностная. Она важна для поперечно протяженных тел, для которых поле второго тела сильно изменяется в поперечной области первого. В нашем случае можно считать поле Е,_ второй нити постоянным по сечению первой. Поскольку в силу электрической нейтральности полный поверхностный заряд равен нулю, этой поверхностной частью силы можно пренебречь. Для толстых цилиндрических тел вычисление такой погонной силы вдоль оси х требует интегрирования величины оЕ_2х = -a_x2p соэ(^>) по углу. Здесь точка интегрирования пробегает окружность первого цилиндра, а радиус-вектор направлен из центра второй нити. Этим объясняется и минус в формуле. При малом радиусе нити Е_2р почти постоянно, и результат близок к нулю.

Рассмотрим этот эффект для тел большого поперечного сечения. При большой ДП имеем ст, = Е_1р / <:₀, что характерно для металла на низких частотах. При действительной ДП на рассмотренной частоте (в области Ю»Ю_С для металла) плотность этой поверхностной силы пропорциональна e_o[^/(2e)]Re^?'_lv,?'₂0. Множитель при корреляции положительный, если ? > 1 или є < -1, и отрицательный, если —1 < Є < 1 (это возможно при со_с « со). В так называемой области «epsilonnearzero» (ENZ) (где ? ~ О ) следует учитывать диссипацию, т.е. результат не приводит к бесконечной силе. При изменении ДП притягивающая сила может смениться на репуль-сивную (отталкивающую). Условие ? ~ 0 может выполняться, например, для металлов в ультрафиолетовом диапазоне. Приведенные соотношения могут быть использованы для плазменных структур.

Внутри однородного конечного диэлектрического тела Рп = *v-j^/ со = 0, и объемные плотности заряда возникают только для неоднородных тел. Однако для бесконечных нитей это не так, поскольку мы не рассматриваем их удаленные торцы. Из закона сохранения линейного тока и заряда следует d-I^_:(z)+icor^(z) = 0. Это значит, что на оси нити существует эффективный линейный заряд, который взаимодействует с электрическим полем другой нити. Заметим, что эти величины записаны в координатном представлении. Для него можно определить пространственные спектры, например,

и найти от них обратные Фурье-преобразования

По своему смыслу использованная выше величина 1₀(й),к.) и есть такая спектральная амплитуда (в основных формулах указанную зависимость от частоты и /с_ мы опустили), а поля в (2.1)—(2.3) при опускании множителя ехр(— iyz) также есть такие пространственно-частотные спектральные амплитуды.